Efnisyfirlit
Í þessu riti munum við íhuga eina af klassísku setningum tengdrar rúmfræði – Ceva setninguna, sem hlaut slíkt nafn til heiðurs ítalska verkfræðingnum Giovanni Ceva. Við munum einnig greina dæmi um lausn vandamálsins til að treysta framsett efni.
Fullyrðing setningarinnar
Þríhyrningur gefinn ABC, þar sem hver hornpunktur er tengdur við punkt á gagnstæða hlið.
Þannig fáum við þrjá hluta (AA', BB' и CC'), sem kallast cevians.
Þessir hlutar skerast á einum stað ef og aðeins ef eftirfarandi jafnræði gildir:
|OG'| |EKKI'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Setninguna er einnig hægt að setja fram á þessu formi (það er ákvarðað í hvaða hlutfalli punktarnir skipta hliðunum):
Trigonometric setning Ceva
Athugið: öll horn eru stillt.
Dæmi um vandamál
Þríhyrningur gefinn ABC með punktum TIL', B ' и C ' á hliðunum BC, AC и AB, í sömu röð. Hnuðpunktar þríhyrningsins eru tengdir tilteknum punktum og mynduðu hlutar fara í gegnum einn punkt. Á sama tíma eru stigin TIL' и B ' tekin á miðpunktum samsvarandi gagnstæðra hliða. Finndu út í hvaða hlutfalli punkturinn C ' skiptir hliðinni AB.
lausn
Teiknum teikningu í samræmi við aðstæður vandamálsins. Til hægðarauka tökum við upp eftirfarandi merkingu:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Það er aðeins eftir að setja saman hlutfall hlutanna í samræmi við Ceva setninguna og skipta viðtekinni nótnaskrift inn í hana:
Eftir að hafa dregið úr brotunum fáum við:
Þess vegna, AC' = C'B, þ.e. lið C ' skiptir hliðinni AB í tvennt.
Þess vegna, í þríhyrningnum okkar, hluti AA', BB' и CC' eru miðgildi. Eftir að hafa leyst vandamálið, sönnuðum við að þeir skerast á einum stað (gildir fyrir hvaða þríhyrning sem er).
Athugaðu: með setningu Ceva er hægt að sanna að í þríhyrningi á einum punkti skerast helmingalínur eða hæðir líka.