Litla setning Fermats

Í þessu riti munum við fjalla um eina af helstu setningum heiltalnakenningarinnar -  Litla setning Fermatsnefnd eftir franska stærðfræðingnum Pierre de Fermat. Við munum einnig greina dæmi um að leysa vandamálið til að treysta framsett efni.

Fullyrðing setningarinnar

1. Upphaf

If p er frumtala a er heil tala sem ekki er deilanleg með pÞá a^bls-1 - 1 deilt með p.

Það er formlega skrifað svona: a^bls-1 ≡ 1 (á móti p).

Athugaðu: Frumtala er náttúruleg tala sem er aðeins deilanleg með XNUMX og sjálfri sér án afgangs.

Til dæmis:

• a = 2
• p = 5
• a^bls-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• númer 15 deilt með 5 án afgangs.

2. Val

If p er frumtala, a hvaða heiltala sem er, þá a^p sambærileg við a mát p.

a^p ≡ a (á móti p)

Saga um að finna sannanir

Pierre de Fermat setti setninguna fram árið 1640 en sannaði hana ekki sjálfur. Síðar gerði þetta af Gottfried Wilhelm Leibniz, þýskum heimspekingi, rökfræðingi, stærðfræðingi o.fl. Talið er að hann hafi þegar haft sönnunina fyrir árið 1683, þótt hún hafi aldrei verið birt. Það er athyglisvert að Leibniz uppgötvaði setninguna sjálfur, án þess að vita að hún hefði þegar verið mótuð fyrr.

Fyrsta sönnun setningarinnar var gefin út árið 1736 og hún tilheyrir Svissneska, Þjóðverjanum og stærðfræðingnum og vélfræðingnum Leonhard Euler. Litla setning Fermats er sérstakt tilfelli af setningu Eulers.

Dæmi um vandamál

Finndu afganginn af tölu 2¹² on 12.

lausn

Við skulum ímynda okkur tölu 2¹² as 2-2¹¹.

11 er frumtala, því fáum við með litlu setningu Fermats:

2¹¹ ≡ 2 (á móti 11).

Þess vegna, 2-2¹¹ ≡ 4 (á móti 11).

Svo númerið 2¹² deilt með 12 með afgangi jöfn 4.