Hver eru mörk falls

Í þessu riti munum við fjalla um eitt af meginhugtökum stærðfræðilegrar greiningar – takmörk falls: skilgreiningu þess, svo og ýmsar lausnir með hagnýtum dæmum.

Ákvörðun takmörk falls

Takmörk virkni – gildið sem gildi þessarar falls stefnir í þegar rök hennar stefnir að takmörkunarpunktinum.

Takmarkaskrá:

• mörkin eru sýnd með tákninu limur;
• fyrir neðan bætist við hvaða gildi röksemdafærslan (breytan) fallsins hefur tilhneigingu til. Yfirleitt þetta x, en ekki endilega, til dæmis:x→1″;
• þá er fallinu sjálfu bætt við hægra megin, til dæmis:

  

Þannig lítur lokaskrá yfir mörkin svona út (í okkar tilviki):

Les eins og "takmörk fallsins þar sem x hefur tilhneigingu til einingu".

x→ 1 - þetta þýðir að „x“ tekur stöðugt á sig gildi sem nálgast óendanlega einingu, en munu aldrei falla saman við hana (það verður ekki náð).

Ákvörðunarmörk

Með tilteknu númeri

Leysum ofangreind mörk. Til að gera þetta skaltu einfaldlega skipta út einingunni í fallinu (vegna þess x→1):

Þannig, til að leysa takmörkin, reynum við fyrst að skipta út gefnum tölu í fallið fyrir neðan hana (ef x hefur tilhneigingu til ákveðinnar tölu).

Með óendanleika

Í þessu tilviki eykst rök fallsins óendanlega, þ.e. „X“ hefur tilhneigingu til óendanleika (∞). Til dæmis:

If x→∞, þá hefur tilgreint fall tilhneigingu til mínus óendanleika (-∞), vegna þess að:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 o.s.frv.

Annað flóknara dæmi

Til að leysa þessi mörk skaltu líka einfaldlega auka gildin x og líttu á "hegðun" fallsins í þessu tilfelli.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Þannig, fyrir „X“stefna að óendanleika, fallið x² +3x –6 vex endalaust.

Með óvissu (x hefur tilhneigingu til óendanleika)

Í þessu tilviki erum við að tala um mörk, þegar fallið er brot, þar sem teljari og nefnari eru margliður. Þar sem „X“ stefnir í óendanleikann.

Dæmi: við skulum reikna út mörkin hér að neðan.

lausn

Tjáningar í bæði teljara og nefnara hafa tilhneigingu til óendanleika. Gera má ráð fyrir að í þessu tilviki verði lausnin sem hér segir:

Hins vegar er ekki allt svo einfalt. Til að leysa mörkin þurfum við að gera eftirfarandi:

1. Finndu x í hæsta afli fyrir teljarann ​​(í okkar tilfelli er hann tveir).

2. Á sama hátt skilgreinum við x í hæsta veldi fyrir nefnarann ​​(jafngildir líka tveimur).

3. Nú deilum við bæði teljara og nefnara með x í eldri gráðu. Í okkar tilviki, í báðum tilfellum - í öðru, en ef þau væru ólík ættum við að taka hæstu gráðuna.

4. Í niðurstöðunni sem myndast hafa öll brot tilhneigingu til að núll, þess vegna er svarið 1/2.

Með óvissu (x hefur tilhneigingu til ákveðinnar tölu)

Bæði teljarinn og nefnarinn eru hins vegar margliður, „X“ hefur tilhneigingu til ákveðinnar tölu, ekki að óendanleika.

Í þessu tilviki lokum við með skilyrðum augunum fyrir því að nefnarinn er núll.

Dæmi: Við skulum finna takmörk fallsins hér að neðan.

lausn

1. Í fyrsta lagi skulum við setja töluna 1 í fallið, sem „X“. Við fáum óvissu um formið sem við erum að íhuga.

2. Næst skiptum við niður teljara og nefnara í þætti. Til þess er hægt að nota styttu margföldunarformúlurnar, ef þær henta, eða.

Í okkar tilviki eru rætur tjáningarinnar í teljara (2x² – 5x + 3 = 0) eru tölurnar 1 og 1,5. Þess vegna er hægt að tákna það sem: 2(x-1)(x-1,5).

Nefnari (x–1) er í upphafi einfalt.

3. Við fáum svo breytt mörk:

4. Hægt er að minnka brotið með (x–1):

5. Það er aðeins eftir að setja töluna 1 í staðinn sem fæst undir mörkunum: