Í þessu riti munum við fjalla um eina af helstu setningum evklíðískrar rúmfræði – setningu Stewarts, sem hlaut slíkt nafn til heiðurs enska stærðfræðingnum M. Stewart, sem sannaði það. Við munum einnig greina ítarlega dæmi um að leysa vandamálið til að treysta framsett efni.
Fullyrðing setningarinnar
Dan þríhyrningur ABC. Við hlið hans AC lið tekin D, sem er tengdur við toppinn B. Við samþykkjum eftirfarandi merkingu:
- AB = a
- BC = b
- BD = bls
- AD = x
- DC = og
Fyrir þennan þríhyrning er jafnréttin satt:
Beiting setningarinnar
Út frá setningu Stewarts er hægt að leiða formúlur til að finna miðgildi og miðlínur þríhyrnings:
1. Lengd hálsmálsins
Let lc er þverskurðurinn dreginn til hliðar c, sem er skipt í hluta x и y. Tökum hinar tvær hliðar þríhyrningsins sem a и b… Í þessu tilfelli:
2. Miðgildi
Let mc er miðgildi snúið niður til hliðar c. Táknum hinar tvær hliðar þríhyrningsins sem a и b… Þá:
Dæmi um vandamál
Þríhyrningur gefinn ABC. Til hliðar AC jafnt og 9 cm, lið tekin D, sem skiptir hliðinni þannig að AD tvöfalt lengri tíma DC. Lengd hlutans sem tengir hornpunktinn B og benda D, er 5 cm. Í þessu tilviki, myndaður þríhyrningur US er jafnhyrningur. Finndu þær hliðar sem eftir eru í þríhyrningnum ABC.
lausn
Við skulum sýna aðstæður vandamálsins í formi teikninga.
AC = AD + DC = 9 sm. AD lengur DC tvisvar, þ.e AD = 2DC.
Þar af leiðandi 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Svo, DC = 3 cm, AD = 6 sm.
Vegna þess að þríhyrningur US - jafnhyrningur, og hlið AD er 6 cm, þannig að þeir eru jafnir AB и BDIe AB = 5 sm.
Það er aðeins eftir að finna BC, dregur formúluna úr setningu Stewarts:
Við setjum þekkt gildi í þessa tjáningu:
Á þennan hátt, BC = √52 ≈ 7,21 cm.