Í þessu riti munum við íhuga hvað Gauss-aðferðin er, hvers vegna hennar er þörf og hver meginreglan er. Við munum einnig sýna með hagnýtu dæmi hvernig hægt er að beita aðferðinni til að leysa línuleg jöfnukerfi.
Lýsing á Gauss-aðferðinni
Gauss aðferð er klassísk aðferð til að eyða breytum í röð sem notuð eru til að leysa. Það er nefnt eftir þýska stærðfræðingnum Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
En fyrst skulum við muna að SLAU getur:
- hafa eina eina lausn;
- hafa óendanlega margar lausnir;
- vera ósamrýmanleg, þ.e. hafa engar lausnir.
Hagnýtir kostir
Gauss aðferðin er frábær leið til að leysa SLAE sem inniheldur fleiri en þrjár línulegar jöfnur, sem og kerfi sem eru ekki ferningur.
Meginregla Gauss-aðferðarinnar
Aðferðin felur í sér eftirfarandi skref:
- beint – aukna fylkið sem samsvarar jöfnukerfinu er minnkað um leið fyrir ofan línurnar í efri þríhyrningslaga (þreppaða) formið, þ.e. undir aðal ská ættu aðeins að vera þættir sem eru jöfn núlli.
- aftur – í fylkinu sem myndast eru þættirnir fyrir ofan aðalskánina einnig stilltir á núll (neðri þríhyrningsmynd).
SLAE lausn dæmi
Leysum línulegu jöfnukerfið hér að neðan með Gauss-aðferðinni.
lausn
1. Til að byrja með kynnum við SLAE í formi stækkaðs fylkis.
2. Nú er verkefni okkar að endurstilla alla þætti undir aðal ská. Frekari aðgerðir eru háðar tilteknu fylki, hér að neðan munum við lýsa þeim sem eiga við um okkar mál. Í fyrsta lagi skiptum við um línurnar og setjum þannig fyrstu þætti þeirra í hækkandi röð.
3. Dragðu frá annarri röðinni tvisvar þá fyrstu og frá þeirri þriðju - þrefaldaðu þá fyrstu.
4. Bættu annarri línu við þriðju línu.
5. Dragðu aðra línuna frá fyrstu línunni og deildu um leið þriðju línunni með -10.
6. Fyrsta áfanga er lokið. Nú þurfum við að fá núll þættina fyrir ofan aðal ská. Til að gera þetta skaltu draga þá þriðju margfaldaða með 7 frá fyrstu línunni og bæta þeirri þriðju margfaldað með 5 við þá annarri.
7. Loka stækkaða fylkið lítur svona út:
8. Það samsvarar jöfnukerfinu:
Svar: rót SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.