Að draga út rót tvinntölu

Í þessu riti munum við skoða hvernig hægt er að taka rót tvinntölu og einnig hvernig þetta getur hjálpað til við að leysa annars stigs jöfnur þar sem mismunun er minni en núll.

Að draga út rót tvinntölu

Kvaðratrót

Eins og við vitum er ómögulegt að taka rót neikvæðrar rauntölu. En þegar kemur að flóknum tölum er hægt að framkvæma þessa aðgerð. Við skulum reikna það út.

Segjum að við höfum tölu z = -9. Fyrir √-9 það eru tvær rætur:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Við skulum athuga niðurstöðurnar sem fengust með því að leysa jöfnuna z² =-9, ekki gleyma því i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Þannig höfum við sannað það -3i и 3i eru rætur √-9.

Rótin af neikvæðri tölu er venjulega skrifuð svona:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i o.fl.

Rót í krafti n

Segjum sem svo að við fáum jöfnur af forminu z = ⁿ√w… Það hefur n rætur (z₀, Úr₁, Úr₂,…, z_n-1), sem hægt er að reikna út með formúlunni hér að neðan:

|w| er eining tvinntölu w;

φ – rök hans

k er færibreyta sem tekur gildin: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratjöfnur með flóknar rætur

Að draga út rót neikvæðrar tölu breytir venjulegri hugmynd um uXNUMXbuXNUMXb. Ef mismunamaðurinn (D) er minna en núll, þá geta ekki verið raunverulegar rætur, heldur er hægt að tákna þær sem tvinntölur.

Dæmi

Við skulum leysa jöfnuna x² – 8x + 20 = 0.

lausn

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, en við getum samt tekið rót hins neikvæða mismununar:

√D = √-16 = ±4i

Nú getum við reiknað ræturnar:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Því jafnan x² – 8x + 20 = 0 hefur tvær flóknar samtengdar rætur:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i